數學的特色與受益

世間的萬物都有「數」與「形」兩個側面，作為研究現實世界中的「數量關係」和「空間形式」的科學，數學是剔除了物質的其它具體特性，僅僅從「數」與「形」的角度來研究整個世界的學科。所以字典將數學定義為「研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科，透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生……」。 有不少孩子從小就對於數數目和背誦九九乘法表感到頭痛，因此在解數學題目的時候，常是咬著筆桿、皺著眉頭，痛苦不堪。十九世紀的德國「數學王子」高斯〈Carl Friedrich Gauss，1777--1855〉說過：「數學是自然科學的女王」。人們曾經無數次引用這句話，說明數學對於人類生活的重要性。但是如果說這句話有什麼負面影響，那就是：數學難懂難學，對一些人來說，數學像是「真正的女王」，讓人只敢遠望而不願親近。 為什麼會這樣？因為在他們眼中，覺得好多數學概念都很抽象、好多定義無法理解、好多公式的推理過程就是想不通……。所以，每個世代都會有「數怨者」(對於學習數學有抱怨的人)質問同樣的疑問： ＊學數學所為何來？ ＊為什麼有必要接受這種折磨？ ＊大多數的人是不是應該乾脆放棄學習數學？ ＊如今手機的計算App可以即刻算出各種數學運算結果，學習乘法表或除法還有意義嗎？ ＊到底為什麼要花這麼多時間來學習數學？ ＊為什麼一定要努力學好數學呢？ 事實上，如果認為數學學習只是為了應付有關的考試，並取得一個好的成績；只是為了混得一張文憑，將來好找一個高收入的工作；或者只是為了或多或少掌握一些有關的數學知識，上述「偏見」必然會對數學學習採取一個被動和應付的態度，大大影響學習的效果。 中國科學院院士李大潛教授曾經在2016級大陸復旦大學數學科學學院新生迎新大會上的演講內容，有助於澄清「數怨者」們關於前述心中的種種疑慮，相信足以影響他們對於學習數學的態度。 (一)數學的本質與特性 對絕大多數人來說，數學是受教歷程中學得最多的一門課程：從小學到中學，從中學到大學，有些人甚至到了研究生的階段，都還在學習數學，可說是非常有緣，至於是「善緣」或「孽緣」？則人人有不同的際遇。想要讓「數怨者」們心中的夢魘消散，化消極的應付為積極的努力，正本清源之道，首先要認識數學這門學科的重要性。概括起來至少可以有以下七點： 1. 數學是一種歷久彌新的知識 人類的許多發現總是處於不斷「推陳出新」的知識循環，物理學中的古典力學被量子力學取代就是一個好例子；但是數學的發展卻截然不同，每一代的數學家都在原有的基礎上，持續添加新一層的建築。例如，歐幾里得幾何是二千多年以前的古希臘數學家歐幾里得（Euclid,325 b.c.－265 b.c.）所發展的，歐幾里得幾何是指二維平面和三維空間中的幾何，基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclidean geometry），就充分地說明了這一特點。 2. 數學是一種科學的語言 義大利天文學家伽利略(Galileo Galilei，1564－1642）曾說過：「大自然這本書是用數學語言寫成的。……除非你首先學懂了它的語言，……，否則這本書是無法讀懂的。」無論是加減乘除，乘方開方，指數、對數，微分、積分，常數等等，這些數學語言和符號一開始雖然可能五花八門、各有千秋，但如今早已統一為一個固定的樣式，而且世界各國通用，這是數學這門學科的特色。 3. 數學是一個強有力的工具 數學愈發展並沒有使事情變得愈來愈複雜，反而使處理問題的方法變得更簡單，使人們愈學愈感受到數學的魅力。譬如，「雞兔同籠」是小學算術課一個頂級的難題，但到中學學了代數，只要設雞為x隻，兔為y隻，根據題意列出一個二元一次聯立方程式，一下子就可求得問題的解答！又如，中學裡學的平面幾何，為了證明，要挖空心思畫輔助線，實在是對智力的一個重大挑戰與考驗，但學習了解析幾何，將代數與幾何結合起來，過去絞盡腦汁才能求解的幾何問題就一下子變得輕而易舉了。 4. 數學是一個共同的基礎 為了準確和定量地考慮問題，得到有充分根據的規律性認識，如今不僅在自然科學、技術科學中，以及在經濟科學、管理科學，甚至人文、社會科學中，數學都成了必備的重要基礎。例如，現代人的生活離不開電腦，讓電腦的功能日益強大的正是數學。又如，管理科學中的作業研究(Operation Research, OR)的範疇越來越廣泛，成果一日千里，其基礎也是數學。 5. 數學是一門重要的科學 數學具有超越具體學科和普遍適用的特徵，對所有的學科都有指導性的意義。天下文化公司出版的《我們為什麼學數學》(2018)，作者以色列理工學院（Technion–Israel Institute of Technology）數學科學中心的阿哈羅尼(Ron Aharoni )教授指出：「人類能宰制環境的祕密就在於具有抽象思維，抽象的威力幫助我們有效率的活在世上，而只有數學把抽象做到極致。」離開了數學的支撐，有關的科學已很難取得長足的進步。如果沒有數學，譬如現今金融行業或科學試驗中種種複雜或高精度的數學運算根本不可能進行。很多學科（尤其是很多自然科學學科）近年來甚至已經出現了數學化的趨勢。數學物理學、數理經濟學和數理社會學之類的新顯學如同雨後春筍般的興起，就是明證。 6. 數學是一項關鍵的技術 數學的思維和方法與高度發展的計算技術的結合如今已經形成一種關鍵性的、可實現的新技術，稱為「數學技術」。醫院裡看到的斷層掃瞄這一先進的技術就是一個突出的例子。斷層掃瞄的本質是利用X光從各個不同角度所拍攝的眾多平面照片，恢復出體內物體（如腫瘤）的立體形狀，這完全是一個數學問題。這樣，數學的內涵物化為電腦的軟體及硬體，就成為技術的一個重要組成部分與關鍵，從而可以直接地轉化為生產力。諸如此類的實例實在多如牛毛，不勝枚舉。 總而言之，由上述所舉的一些例子已足以看出：數學過去是、現在是、將來也將是一種先進的文化，它帶領著、推動著、影響著人類的文明進程，深刻地改變著世界的面貌，也改變著人類本身的思維能力和認識水平，改變著人類的本身。我們可以這麼說，在現今科技發展一日千里，數學作為各門科學的重要基礎，作為人類文明的重要支柱，沒有數學，我們還能有如今這般高度發達的文明社會嗎？數學既然這麼重要，那麼，在中學和大學的課程中增加這項學科不是理所當然的安排嗎？ 7. 數學是一種先進的文化 數學的產生和發展推動著人類文明的進程，並且占有舉足輕重的地位。如同眾所熟知，數學開始於數數目。原始人只能區分1與多，碰到3就覺得多了，三人為「眾」或許就是這樣來的。後來有了十進位，用1，2，3，4，5，6，7，8，9和0這十個數字，再加上逢十進一（以及一個小數點），就可以表示世界上任何一個數字。這是現在的人們從小就知道的事實，似乎是天經地義的。然而，這卻經歷了一個漫長的歷史進程，是數學給人類文明進程帶來的一個不可磨滅的重大貢獻。假如沒有了數學，稍微大一些的數字就會使人暈頭轉向，更談不上龐大的天文數字或是極其微小的數字了。 人類充分享受著數學文化的恩惠，但往往渾然不覺、習以為常，真是「身在福中不知福」。有一則寓言故事是這樣的：某個夏天，有一群旅人歷經長途跋涉，身心俱疲，這時有人看見不遠的前方有一棵大樹，大家就趕緊快步躲進樹蔭下，各自找一個位子坐下喘一口氣。不一會兒一陣清風吹來，每個人都感到十分暢快，頓時精神大振。過了一會兒，只聽有個職業是木匠的人議論說：「這種樹雖然長得那麼高大，卻一點用處都沒有。」大樹不服氣的說：「忘恩負義的人啊！沒有我，現在你能享受到蔭涼嗎？」 (二) 學習數學的益處 李院士明確的指出，通過認真的數學學習和嚴格的數學訓練，足以使學生經過潛移默化，具備一些特有的素質和能力。這些素質和能力是其他課程的學習和其他方面的實踐所無法替代或難以達到的。同時，即使就算自己教育經歷中獲得的那些數學知識技能，不少人開玩笑似的說「還給老師了」，這些素質及能力作為個人的數學教養仍不會隨之消失，而是將伴隨終生，始終發揮積極的作用，這些素質和能力至少可以歸納成如下數點： 1. 自覺的數量觀念：學數學是在學習一種化繁為簡、解決問題要有依據的數學思維，使人會認真注意事物的數量方面及其變化規律，而不是單憑個人的直覺做決定和辦事情。數學概念不限於數量，幾何圖形也是數學。 2. 嚴密的邏輯思維能力：學數學使人能保持思路清晰，條理分明，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項工作。早在十七世紀英國的文學家與哲學家培根(Francis Bacon,1561－1626)爵士在《論讀書》(Of Studies) 一文中就已經指出，「如果心智不集中，可令讀數學，因為演算題目需全神貫注，稍有分散即須重演。」 3. 高度的抽象思維能力：學數學使人面對錯綜複雜的現象，能分清主次，抓住主要矛盾，突出事物的本質，按部就班地、有效地解決問題。 4. 培根在《論讀書》一文中就曾指出：「數學使人精確。」數學的演算推導過程要求每一個正負號、每一個小數點都不能含糊敷衍，有助於培養學生認真細緻、一絲不苟的作風和習慣。 5. 嚴格的數學訓練，讓學生逐步形成精益求精、力求盡善盡美的習慣和風格。 6. 作為一種思想的體操和競賽，數學能夠使人增強拼搏精神和應變能力，從困難局面中理出頭緒，最終解決問題。 7.數學的學習和思考，會為學生打開自由創造的廣闊天地，激發他們的探索精神、創新意識及創新能力，使他們更加靈活和主動，聰明才智得到充分的表現和發揮。 學習數學的目的並不僅僅在於得到一大堆定理、公式和結論，懂得各種各樣的數學方法和手段，懂得求解各種各樣的習題甚至難題！那充其量也只能成為一名數學學霸，或是補教界裡解題熟練的補教名師。而是進一步將數學應用於各種技術專業，或是更深化數學本身的內涵。 如前所述，數學教育看起來只是一種知識教育，但本質上是一種素質教育。真正學好了數學，不管我們將來從事哪行哪業，都會讓人變得更聰明，更有智慧，更有競爭力，終生受用不盡。學子們捫心自問，經過多年的數學課程教育，李教授所提示上述的八大能力，是否已經在耳濡目染，潛移默化下無形中逐步變成自己的數學教養？能說上數學課都是在做白工嗎？