隨緣趣味雅

他，扭轉一億人命運 「貧窮應該屬於博物館，不屬於文明世界！」為此信念，2006年諾貝爾和平獎得主尤努斯（Muhammad Yunus），離開妻女、放棄教職、返回孟加拉。用27美元，30年光陰，打造出孟加拉放款規模最大、專屬窮人的鄉村銀行。如今，鄉村銀行理念被應用於40多國，全球1億人，因此掙脫貧窮循環… ------------------------------ 【文／曾如瑩／商業周刊】 二ＯＯ六年十一月，孟加拉陷入混亂之中。 孟加拉朝野在看守內閣問題上產生分歧，兩派群眾以木棍、石塊相互攻擊，焚燒公車、火車，首都達卡對外交通全面封鎖。警察用催淚彈驅逐數以千計的示威者，一個月內，衝突死亡人數逾三十人。孟加拉，這全球貪腐指數第五名，人口密度世界最高，八三％的人民活在每日收入不到兩美元的貧窮線下，人們擁擠著爭取最低限度的生存機會。 然而，這個衝突不斷的國度，卻孕育出今年諾貝爾和平獎得主——穆罕默德‧尤努斯。儘管這國家的人民活在貧窮線下的比率仍高居亞洲第一，仍有五七％文盲，七成地區缺電，但是比起三十年前已經改善許多。 「Grameen」意即「鄉村」，一九七六年尤努斯創辦鄉村銀行前，沒有一家銀行願意在孟加拉鄉村設立據點。三十年前，尤努斯就鎖定貸款對象為每筆一百美元以下、沒有任何擔保品的窮人。目前，鄉村銀行貸款餘額超過五十八億美元，為孟加拉最大銀行，九四％股權屬於借款窮人。他們不稱窮人為借貸者，稱為會員，這是真正為窮人擁有的銀行。其據點遍布七萬兩千個村莊，每年協助五％貸款人脫離貧窮輪迴，超過八成孟加拉貧窮家庭受惠。 八Ｏ年代後，尤努斯將鄉村銀行經驗輸出菲律賓、馬來西亞、中國等四十個國家，受惠窮人超過一億人。 經濟學博士放棄美國教職返鄉 飢荒與死亡，讓他既羞愧又憤怒 二ＯＯ五年，美國華頓商學院評選一九七九年以來全世界最有影響力的二十五位經濟領袖，尤努斯名列其中，與比爾‧蓋茲、傑克威爾許齊名。但是，他選擇的道路，卻是迥然不同的人生路徑。 一九七Ｏ年，出生於珠寶商的尤努斯，不但赴美取得經濟學博士，受聘田納西州立大學助理教授職位，名下擁有車子、房子，並與紅髮碧眼的美籍妻子薇拉（Vera）結婚。相較於絕大多數在貧困線下掙扎的孟加拉人，尤努斯的生活富足且美好。 一九七一年底，孟加拉在千瘡百孔中宣布獨立。隔年，三十二歲的尤努斯辭去美國教職，帶著新婚妻子奔回祖國

美國《每日新聞》專欄作家連德絲（Ann Landers）有一次問她的專欄讀者：「如果可以重來一次，你還想要生小孩嗎？」她收到將近一萬份答覆，其中約70%讀者回覆：「不要！」難道說70%的父母都後悔有小孩嗎？當然不是。問題出在這是個自發性回應樣本，它不是一個具代表性的樣本。通常對某一議題有強烈感覺的人，尤其是負面感覺，比較會不嫌麻煩地回應。連德絲的結論是有高度偏差的：她的樣本中寧願不要小孩的父母百分比，遠大於全體父母中寧願不要生小孩的百分比。投書及叩應(call-in)意見調查幾乎一定會導致有高度偏差的結果。事實上，只有10%的人曾經叩應回覆意見調查，而這些人可能也會打電話到廣播電台的叩應節目。對於整個人口而言，這些人並不構成具代表性的樣本。 《每日新聞》曾經以隨機抽樣的方式選取若干住在美國的父母詢問對於此問題的看法，結果有91%的父母願意生育子女。這個結果與連德絲所公布的數字大相逕庭。本案例給我們的教訓是「如果你不在乎資料如何取得，你或許會聲稱70%說『不願意』，而事實的真相卻是90%說『願意』。」 參考資料： David S.Moore著，鄭惟厚譯，《統計，讓數字說話！》，天下遠見出版公司 David S. Moore(2000)《The Basic Practice of Statistics》W. H. Freeman Co. 民意調查的爛樣本 假設有一電視台針對某次選舉實施了一次選前民意調查，調查結果指出將近9成的受訪者願意投給甲候選人。乍聽之下，這位候選人似乎鐵定當選，但還不要高興得太早！可得先確認如下數點： 取得這個統計數字所採用的樣本為何？ 採用的樣本是否具有代表性（representative）？ 用什麼方法（sampling techniques）取得樣本？ 何時抽取的樣本？樣本量（sample size）多大？ 為什麼要有上述考量呢？假若此次的選舉地點在台北市，所有具投票權的台北市公民就是標的群體（target population），在這個標的群體當中取得的任一群人都可稱為樣本。 民調若是以台北市住宅電話用戶為抽樣對象進行電話訪問，則此種樣本不具代表性，因為住宅電話用戶不見得都是具有投票權的台北市選民；具有投票權的台北市選民也不見得都是住宅電話用戶，這9成或許只能解釋為台北市住宅電話用戶對甲候選人的支持度罷了。 參考資料：

在中國，夫妻結婚多年如果無子，往往祈求於「送子觀音」。在西方則祈求鸛鳥來臨。西方人視鸛鳥為「送子鳥」，他們相信凡是有鸛鳥在屋頂築巢的人家必定人丁興旺。因此在德國和荷蘭，很多人家特別在屋頂上釘許多木圈，歡迎「送子鳥」來築巢。 事實上，鸛鳥數與人口數成正相關並非兩者間有因果關係，如果這種現象視為鸛鳥確實會送子將是一大誤解，如果為了控制人口成長而大量捕殺鸛鳥，更是一項令鸛鳥啼笑皆非的悲劇。其實人口多的地區，自然嬰兒出生多，房屋數目也較多，因而有較多屋頂供鸛鳥築巢。因此在兩變數間是否有因果關係，實在有賴常識的協助。 相關係數的起源 在19世紀末葉，有人問著名英國生物統計學家高騰爵士( Sir Francis Galton, 1822-1911)關於雙親身高與子女身高這兩組資料之間的關係是否可以測度？他想出了「相關」的觀念。經由簡單的代數運算，我們可以證得群體相關係數的數值介於1與+1之間，0值表示沒有直線關係存在，+1表示數據應在正斜率的直線上， 1 表示數據在負斜率的直線上，在附近的相關係數表示兩變數有相當高的直線關係，接近0 的相關係數表示兩變數沒有直線關係。在例5.1 中，大約為0.9。注意是直線關係的測度，資料可能形成一團，這時值會很小，它們雖不是直線相關，但無疑是相關的。 相關性的濫用 資料分析者常犯的一項錯誤是「在未查證確定變數間的關係之前，就斷然將所觀察到的相關認定為是因果關係」。例如，19世紀的一些科學家以人的頭顱大小及形狀來判斷一個人的聰明才智以及是否有犯罪傾向；20世紀初的某些科學家又以粗糙的智力測驗成績來判斷一個人是否為「低能」，都是對「相關性」與因果關係的一些誤解或濫用。又如在1960年代，曾經有位美國社會學家研究美國中部小鎮的教堂數量與該鎮的犯罪率的關係。研究結論顯示，犯罪率與教堂數量呈正相關。換句話說，教堂愈多的地方犯罪率愈高，反之亦然。但是到底是由於犯罪率高，促使宗教人士大設教堂？還是教堂過多，告解便利，導致犯罪率上揚？這個問題始終沒有一個確切的答案。 姓氏字母多的候選人必勝？ 迴歸分析固然不是完美無缺，但是在預測上卻比其他方法好。在1960年的時候，有一作家發現一種預測總統大選結果的簡單方法：姓氏字母多的候選人必然會獲勝。他用這種方法以自1876至1960年的22次的結果來驗證，結果只有一次不符，看起來這方法很不錯。但是這

把統計學家和藝術家相提並論似乎有點不搭調，尤其與藝術怪傑畢卡索一同評論更不免要令人對於杜奇感到好奇，到底他是何方神聖，有多少能耐，足以與畢卡索並駕齊驅？ 杜奇(John Tukey)在1915年誕生於麻薩諸塞州的紐貝德福(New Bedford)，父母親很早就發覺他資賦優異，因此把他留在家裡自己教導，直到他進入布朗大學(Brown University)為止。他在布朗大學拿到化學學士與碩士學位，但是後來被抽象數學吸引，因此，進入普林斯頓大學進修數學，並於1939年榮獲數學博士學位。一開始，他的研究領域是拓樸學(topology)。杜奇深入研究之後，提出杜奇引理(Tukey's lemma)，成為他對這個領域的主要貢獻。 然而杜奇注定了無法一直留在抽象數學領域。普林斯敦大學數學系的威爾克斯(Samuel S. Wilks)教授一直勸誘學生和年輕的教授踏入數理統計界，杜奇也受到感召。得到博士學位後，杜奇留在數學系當講師，而在獲得博士學位之前的1938年，他就發表了數理統計方面的第一篇論文。後來到了1944年，他發表的論文幾乎全屬數理統計領域的研究。 在二次大戰期間，杜奇加入火砲控制研究辦公室，研究槍砲瞄準、測距儀等與大砲有關的問題。於此時所接觸到統計上的實際問題，亦作為其往後的研究題目， 同時也讓他對實際問題的特質有了充分的體認。他常用精闢的格言來總結重要的經驗，其中以「對正確的問題有個近似的答案，勝過對錯的問題有精確的答案。」最為人們所熟知。 話說20世紀初，畫壇出現了一位多才多藝的大師畢卡索，其作品風格千變萬化，總是引起大家的驚嘆。包括單彩作畫(如藍色時期、粉紅色時期)、立體主義、古典主義形式，以及雕塑。畢卡索每次的風格蛻變，都對藝術界造成革命性的影響，其他人只能緊追在後打轉，探索他的作品。 杜奇的研究成就亦如同畢卡索一般的多釆多姿。例如，在1960年代，杜奇發現，就算不使用任何機率模型，還是可以將觀測數據的分配當作一個機率分配來檢驗。結果，他發表了一連串的論文，也參加很多場討論會，最後還寫了幾本專書，談的就是他稱之為「探索性資料分析」的方法。在研究這個問題的時候，他採用了一種十分原創的形式來發表；就是直接檢驗數據本身所展現的模式或型態。他還研究了極值對人們能否觀測到模式的影響力，而且為了調整這個假象，他更發展出一套繪圖工具來表示數據。杜奇提議將

威廉法爾(William Farr, 1807-1883)生於英國Kenley, Shropshire。他在兩歲的時候被當地鄉紳Joseph Pryce所領養，Pryce為法爾支付教育費用。在1826－1828年期間，法爾在Shrewsbury的一間療養院擔任裹傷者的工作，同時跟隨一位醫生學習醫術。當Pryce在1828年逝世的時候，法爾繼承了一大筆遺產，讓他有足夠的經費到巴黎和瑞士留學。1831年法爾回到Shrewsbury，在進入University College London就學之前，曾經擔任無執照醫師(unqualified locum)的工作，後來成為領有藥劑師學會開業執照的人。1833年，他在倫敦的Bloomsbury開了一家藥局，並且陸續在一本名為The Lancet的雜誌發表關於衛生、江湖醫術(quack medicine)、壽險以及霍亂等等課題的文章。在法爾出國深造的期間，他首度顯現出對於醫藥統計的興趣，同時於1832年在Macculloch的《Account of the British Empire》一書中發表其「生命統計」(Vital Statistics)的研究，從此開始了他在統計上的新領域。1838－1879年期間，他在Registrar General's Office擔任編輯摘要的工作。1855年他進入科學探究委員會(Committee for Scientific Enquiry)工作，研究1854年的霍亂大流行，發現霍亂的傳播與污水相關的統計證據，他和同僚持續堅持流行疾病的散布與髒空氣有關的理論。法爾也曾經 負責1871年英國人口普查的主持人工作。他於1879年自公職退休。 法爾的工作讓他對於死亡率(death rates)的計算和表達感興趣。死亡率是一種描述群體健康之重要層面的方便方式，然而，卻並非總是易於解讀，同時即使採用諸如標準化的技巧，早產死亡的影響卻也難以評估。法爾於1870年首創「世代分析」(cohort analysis)，這項技術提供綜合性的資訊，同時將死亡年齡也列入考量，並且以容易瞭解的圖示表示。所謂「世代分析」(注5)是一種綜合整理長期的資料，並做跨時間點分析比較的方法。Cohort一詞的起源意指羅馬的軍事單位，現在泛指一群人有共同的特點、或經歷共同事件者。「世代」其實不只以出生年做劃分，也可以用

提到新加坡，人們腦海中就立即產生「城市花園」的印象。然而為數眾多的烏鴉卻讓該國主政者傷透腦筋，原因是烏鴉對於觀光區環境清潔造成諸多困擾。例如，在露天攤販區，往往當食客還在大快朵頤之際，烏鴉突然便以轟炸機的姿勢俯衝而下，搶食落在地上或桌上還來不及收拾的剩餘食物；此外，積極性頗強的烏鴉也會主動扯開垃圾袋，搜索美食佳饌，飽食之後揚長而去，留下一地的垃圾。 根據專家估計，新加坡全國內的烏鴉大約有12萬隻。對於許多其他的國家而言，這個數目也許算不上什麼，可是對於幅員只682平方公里的新加坡來說，12萬隻意味著每平方公里範圍內就有175 隻，問題是烏鴉基本上只集中於人口密集的攤販區，因此不宜用全國平均數來評估烏鴉的存在與威脅。 1+1<2，社會性懈怠（social loafing） 1920年代德國心理學家Max Ringelmann進行了一項拉繩子的實驗，以驗證集體績效是否等於個別績效的總和。首先他量測每位成員所能拉的最大力量，然後再集合所有成員一起拉。實驗結果發現，3 個人一起拉的力量，只有每一個人平均力量的2.5倍；8個人一起拉的力量，則只有每一個人平均力量的4 倍不到。換句話說，設X1、X2、…, Xn 分別表每位成員的最大拉力，實驗結果顯示： 3個人集體總拉力= 2.5倍平均數，8個人集合總拉力<4倍平均數。 簡而言之，就是大家一起拉時，有些成員混水摸魚，並沒有使出全力。這項實驗足以說明任何要求全員配合的工作，由於無法顯現成員個別的績效，因此總是可能會有某些人投機取巧，混水摸魚。

倫敦《泰晤士報》（The Times）曾刊出一封讀者投書。投書者研究了健康部的一篇報告之後發現，英國顯然有一半孩童的體重低於平均值。這真是國家恥辱，必須改善孩子們的營養。 請注意：無論平均數的數據為何，總是有一半的數據會在平均數之下，因此永遠會有一半的人受罰而心情沮喪。 參考資料：戴明著，鍾漢清譯，《轉危為安》，天下遠見出版公司發行。 照過來，請注意！ 或許是由於平均數與統計問題似乎脫不了關係，讓人們提到統計就立即聯想到平均數。在美國，有人想出一則如下內容的笑話來取笑統計學家：「統計學家就是將自己的頭放在烤箱，腳放在冰窖，卻說平均起來，他覺得溫度適中。」 事實上，雖然許多人在資料分析中，習於計算該項資料的平均數，然而有時候平均數對於統計問題並沒有參考價值。例如，上述新加坡的烏鴉只集中在攤販區，求出平均全國有幾隻烏鴉並無意義；中國大陸的人口大部分居住在沿海省份，這時計算平均每省的人口數並沒有太大意義。又如，對於地震強度來說，計算平均地震強度的意義也不大，重要的是歷年最強的地震強度，因為該數值方可供決定建設橋樑或大樓的防震係數之用。 台灣的921大地震 從1897年台灣有地震偵測設備至今的一百多年期間，總共發生過9次嚴重的地震。台灣大學研究人員指出，台灣約每10年就可能發生一次大地震。不過氣象局地震測報中心主任郭鎧紋則認為，地震發生以平均的方式預測，恐有失真的問題。他表示，中部地區在經過921 能量大量釋放後，應該會有一段平靜的日子。其實住在台灣本來就很難逃避地震的風險，不過從921 大地震後，工程界對於建築耐震規範也做出檢討，民眾不必因此過度恐慌。 平均數之外 假設某次期中考，甲班的數學科平均分數是60分，乙班也是60分。以平均分數而言，這兩班的表現的確相當。但是有一種情況，甲班有10 個人，5 個人考90 分，另5 個人考30分，平均分數是60分；乙班也有10個人，每個人都考60分，平均也是60分。顯然的，在這種情況下，甲、乙兩班數學科的表現是絕對不同的。甲班應可區分成兩組數學程度截然不同的學生；乙班則為一群表現都差不多的學生。這時光靠一個統計數字「平均數」來鑑別教師的教學能力或是學生的學習成效是失真的，甚至是誤導的。因為「平均值」只能知道集中趨勢，無法瞭解差異情形，例如「8與4」及「10與2」平均值都是6，但顯然「10與2」差異較大。所以，

使用百分比時要十分謹慎，否則容易陷入令人啼皆非的狀況。請看如下一段在校友會聚會中的對話： 甲：我的班上有50%的女生嫁給老師。 乙：真的？比例真高啊！請問你班上有幾個女生？ 甲：總共兩人。 乙：…… 直方圖的起源 直方圖是綜合一組資料的圖形。直方圖的圖示本質使閱讀者可一目了然看清楚以數字表列時難以表達的圖示基型（graphic pattern）。 直方圖的起源應歸功於法國統計學家古瑞（A. M. Guerry），他在1833年引用一種新式的條形圖以描述他對於犯罪資料的分析。這種新式條形圖的特點是將犯罪次數與諸如犯罪者年齡之類的連續變數相對應。如此一來，閱讀者可以輕易瞭解關於法國犯罪情形的結論。這項成就使他榮獲法國研究院（French Academy）的獎章，同時直方圖也逐漸成為綜合分析與展示統計資料的標準工具。 參考資料：The Tools of Quality, Part IV: Histogram. Quality Progress, Sept 1990, pp.75-78.

最近無意間在網路上看到如下一段另類的對話： 子：「人為什麼要吸空氣？」 父：「為了爭一口氣。」 子：「那又為什麼要把空氣呼出去？」 父：「為了出一口氣。」 其實正如同佛陀所說：「生命在呼吸之間。」對於健康的人來說，呼出一口氣後，緊接著就會輕而易舉的吸入下一口氣，但對於重病患者而言，當他（她）呼出一口氣後，「順理成章」地再吸入下一口氣的機率將會愈來愈低。對於「生命無常」這冷酷事實的反應，採取渾渾噩噩的過一天算一天的態度或是「及時行樂」的消極反抗或是把握當下，珍惜生命，以發揮生命價值的積極態度則是取決於個人智慧的高下。 身體健全者是幸運兒 基因是每個人從父母親得到的遺傳基本單元，它決定每個嬰兒身體表現的特徵。每個嬰兒身體是否有殘疾端賴是否遺傳到父親或（和）母親的不良基因（gene）。基因十分細小，無法用肉眼看見，卻藏著生物化學DNA 的訊息，排列在人體細胞內的46 條染色體（chromosome）上。46 條染色體可分為23 對，包括22 對常染色體或者管理身體各種特徵的染色體和另外一對性染色體，決定個人的性別。當父親或母親遺傳不良基因給嬰兒，就會有生下嬰兒畸形的可能，雖然遺傳不良基因的機率很低，但是確實會發生，婚前的健康檢查就是積極預防生出畸形兒機率的方法之一。因此身體健全並非「理所當然」，而是要慶幸自己沒有遺傳到不良的基因。

許多人都知道南丁格爾是現代護士鼻祖，卻不知道她不但是一位有使命感和深具愛心的女性，也是自修成功的應用統計學家。 弗羅倫絲．南丁格爾(Florence Nightingale, 1820-1910)是英國維多利亞女王時代的傳奇人物，她生長在倫敦一個家世顯赫的上流家庭。 她不甘願容於父母和社會，毅然選擇了護士一行。她的母親寫道：「我和我先生是一對鴨子，卻生出這麼一隻野天鵝。」但是為南丁格爾作傳的作家卻說：「她母親錯了，因為南丁格爾不是一隻野天鵝，而是一隻蒼鷹。」 她曾經利用統計資訊改革英國的野戰醫院的環境。有3年的時間她都和那些垂死的士兵、污血、斷腿為伍，不停的工作、等待。事情經過大致如下： 克里米亞戰爭(1854-1856)(注6)爆發了，南丁格爾應戰事部長赫伯特(Sidney Herbert)的要求，組織、訓練並帶領38位護士的隊伍到克里米亞的野戰醫院服務。她家人罵道：「她是被魔鬼附身，精神不太正常了。」她的決定遭受到嚴厲的批評，並被斥為無知。 當她到達野戰醫院現場，她被惡劣的環境嚇壞了。「院內的病床都受到蝨子和老鼠的傳染。建築的地下就是排水溝，……累積著污垢。……當風吹動時，溝中臭氣由管路飄上地面……那正是病人躺在草蓆上的所在。」 南丁格爾對戰地醫院的批評並沒有多大份量，因為她只不過是一個護士，一個女人。她立即開始動手蒐集醫院內傷亡的數字，但是她所遭受的困難不僅是如何將這些數字數據化為資訊，更艱鉅的挑戰是如何創造出新的表示方法，將這些整理所得結果以引人注目的方式表現出來，以促使有關單位採取行動，改善野戰醫院的惡劣現狀。 南丁格爾對比利時統計學家奎特萊(L.A. J. Quetelet, l799-1874)衷心崇拜。據說，她在早年就已有偏好蒐集數據和分析數據的傾向。當她由克里米亞返回英國後，遇到使用圖示法的先驅人物威廉法爾(W. Farr)(注7)。南丁格爾將法爾的條形圖(bar plot)發揮得淋漓盡致，同時創造了如今稱為極座標圖(polar chart)的圖形，戲劇性地表達出她的觀點，果然引起高層的注意，因而下令改善野戰醫院的環境。克里米亞戰爭末期，在克里米亞戰場的士兵死亡率比駐紮於英國本土的士兵死亡率還低。1859年南丁格爾回國，她所撰寫的有關經營醫院方法的小手冊出版問世，而且她成功的促成了所謂醫院形式的改革，以至於百餘年後的今天，人們仍身受其