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數學

解析幾何的一些應用
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提起數學,大多數讀者大概都對它敬畏有加。在學生時代非念不可,只好硬著頭皮苦撐,能夠安然畢業,真如苦海超生,以後能夠不再碰它實在慶幸萬分。有些人不免要想:為什麼學校非得要教數學?聯考和其他各類考試也少不了數學?然而每個人投下無數心力學習數學,除了應付各類考試之外,到底又得到些什麼呢?學習數學的目的,若僅僅是為了應付一門必修的課程,的確是一件十分痛苦的事。另一方面,由於未能將數學的思考活用於處理日常的事物,因而使數學顯得一無用處。
數學並非等於計算,它是一種解題的思考途徑。台大數學系的黃武雄教授就極力主張數學是一種方法論(methodology)。筆者深表贊同。
數學的應用有許多優點:
一﹑數學是一種「語言」,利用數學符號和算式能明確表達自變數和應變數之間的因果關係,倘若改以文字敘述,往往冗贅且意義不明。
二﹑數學除了具有簡潔精確的優點之外,尚可提供一套比文字推理更為強而有力的分析和推理工具。常能獲得用文字推論無法獲致的結論,並可以處理多變數的情況。
三﹑有大量數學定理可供利用。
四﹑迫使解題者列出假設,做為使用數學定理的先決條件,使人免於無意間採用不必要的潛在假設。
五﹑使用數學方法,再加上統計資料的分析,對文字推理所獲得的結論,常能進行實證性的檢定。
除了以上所列各點之外,尤其不應忽略的是數學的圖示法,例如統計圖表能讓人一目了然,達成溝通的任務。這是比較易於在日常生活利用的工具。本文準備用一些解析幾何的應用﹐來說明數學的實用性。
數學方法中,幾何易明難算,代數易算難明。法國數學家笛卡兒想出了一個兼顧二者之長的數學方法,就是解析幾何。解析幾何的根據有兩大觀念,其一是坐標觀念,另一是用坐標法將任何具二未知數的代數方程式,表成為平面曲線的觀念。由於坐標的創設,笛卡兒將平面「算術化」,從此之後,人們可以不必用幾何方法界定一個點,而僅用一耦點(x,y)的數就可以予以界定,反之亦然。
解析幾何最常為人用到,但卻習而不察的概念就是原點。例如平常向路人問路,對方的回答大多是先提出一個為大多數人所熟知的地點做為原點,然後指出應如何走法,就會到達目的地。
又如在行銷策略方面,通常業者將消費者加以區隔,而後以圖形表示,其中圓圈的大小表示百分比。然後可針對某一群人士消費的習性,設計合乎需求的產品。圖一就是典型的解析幾何概念應用實例。又如圖二也能使人一看便知世界各國汽車所訴求的對象。雖然各點均無真正坐標值,但並不妨害其所欲表達的意念。再如圖三清楚地表達了電腦和通訊的整合之路的發展歷程,也是解析幾何圖形的應用。
以上僅是隨手取來的一些例子,提供讀者參考。其次我們再來看看極坐標概念的應用。例如某公司欲推出新產品,該公司設計部門的二位設計師各提出一份設計提案。假設該產品必須注重實用性、安全性、操作性、審美性及環境性。為了評估設計案的受接納程度,可將各特性分為0~4(0表不喜歡,1表可,2表佳,3表良,4表優),尋求公司內員工意見,將結果歸納後,表示如圖四,就可看出各設計案受歡迎的程度。
又如購屋對一般人來說可算是件大事,必須審慎從事,通常買房子考慮的因素不外是:環境、交通、價位、坪數、格局及造型等項目。為了便於評估起見,我們可將各考慮項目分成1~5。當參觀一幢房子的時候,依自己對各項滿意的程度給個分數,並可繪圖如下:

同時可制訂一些規則:一﹑總分低於18分的房子不予考慮;二﹑總分在18~21,則向對方索取電話及其他有關資料後立即告辭;三﹑若總分在21~25,則可與對方進一步深談;四﹑總分在25分以上則優先考慮。這種做法可以提高效率,並且對各幢房子的觀感表現於紙上(見圖五),便於作理智決策,而不會被推銷員的三寸不爛之舌纏住,以致一時衝動不小心而作下事後後悔的決策。
我國自漢以儒立國至今,知識分子的思想深受儒家思想的影響。尤其自科舉取士以來,讀書人只知熟讀應考書籍而不重其他。儒家典籍以人為探討對象,使我國文化成為一種感性文化。雖然在宋元以前,我國數學也曾輝煌一時,卻未能受到應有重視而成為思想主流之一。西方各國的思想則大致秉承希臘傳統,以物為探討主題,講求理性思考及問題解決方法。經濟學家高希均曾評論國人:「有太多溫暖的心,缺乏冷靜的腦。」為了發展科技,提高工作效率,使我國成為一個現代化的國家,理性思考和講求程序方法,以促進效率實不容忽視。數學的學習與應用正是邁向這個方向的途徑。如何將數學常識化,能夠將它活用於日常生活,而不致於使學生時代學習數學的心血白費,實值得有心人士深思。
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轉載《再別康橋》 賞析

《再別康橋》賞析
作者: 徐志摩


輕輕的我走了,
正如我輕輕的來;
我輕輕的招手,
作別西天的雲彩。

那河畔的金柳,
是夕陽中的新娘;
波光裡的豔影,
在我的心頭蕩漾。

軟泥上的青荇,
油油的在水底招搖;
在康河的柔波裡,
我甘心做一條水草!

那榆蔭下的一潭,
不是清泉,
是天上虹;

陳琳 古詩《飲馬長城窟行》漫談

飲馬長城窟,水寒傷馬骨。
往謂長城吏,慎莫稽留太原卒﹗
官作自有程,舉筑諧汝聲﹗
男兒寧當格鬥死,何能怫郁(ㄈㄨˊ ㄩˋ)筑長城。

長城何連連,連連三千里。
邊城多健少,內舍多寡婦。

作書與內舍,便嫁莫留住。
善待新姑嫜,時時念我故夫子﹗

報書往邊地,君今出語一何鄙﹖
身在禍難中,何為稽留他家子﹖
生男慎莫舉,生女哺用脯。
君獨不見長城下,死人骸骨相撐拄。
結髮行事君,慊慊心意關。
明知邊地苦,賤妾何能久自全﹖

語譯
  第一層(1—8句),寫築城役卒與長城吏的對話:
  讓馬飲水,只得到那長城下山石間的泉眼,那裡的水是那麼的冰冷,都冷傷透及馬骨頭裡。
  一位築城役卒跑去對監修長城的官吏懇求說:你們千萬不要長時間的滯留我們這些來自太原的役卒啊!

從胡適的新詩《希望》到《蘭花草》

如果唱起“我從山中來,帶得蘭花草”,相信很多人都能夠接著唱幾句,這首民歌《蘭花草》在若干年前曾經瘋迷一時,為許多年輕人所喜愛。因為它旋律流暢,同時歌詞淺顯易懂。但是很多人都不知道其實這首歌的原始作者竟然是國寶級的大師胡適博士。原詩的名字是《希望》。1921年夏天,胡適的朋友熊秉三夫婦送給胡適一盆蘭花草,胡適歡歡喜喜帶了回來。胡適每天在讀書寫作之餘精心照顧,但直到秋天,也沒有開出花來,於是他有感而發寫了這首小詩。這首詩清新、質樸、深情,對生命的期待與珍惜躍然紙上。胡適給它取名為《希望》。這首小詩《希望》共3闋60字,詩云:
  我從山中來,帶得蘭花草。種在小園中,希望開花好。
        一日望三回,望到花時過;急壞看花人,花苞無一個。
  眼見秋天到,移花供在家,明年春風回,祝汝滿盆花。


後來20世紀八十年代初期被陳賢德和張弼二人修改並配上曲子,同時改名為《蘭花草》,由名歌手劉文正演唱,從而廣為流傳。

《蘭花草》的歌詞如下   我從山中來,帶來蘭花草,種在小園中,希望花開早。
  一日看三回,看得花時過;蘭花卻依然,苞也無一個。
  轉眼秋天到,移蘭入暖房;朝朝頻不息,夜夜不能忘。
 但願花開早,能將宿願償;滿庭花簇簇,開得有多香。 從以上比較可以清楚看出,《蘭花草》歌詞是《希望》一詩稍加增改而成。從立意、內容、文辭到形式,都沒有大的變化。只是為了傳唱的方便,將三段敷衍為四節。作為歌曲,這是可以理解的。由歌詞我們彷彿看到一個朝氣蓬勃的少年從山中帶回一株蘭花草時的滿心歡喜,看到他在精緻的小園中細心呵護的身影,看到他遮掩不住的焦急。清澈達意的文字中能看到那個少年清澈眼眸裡的天真和悵然。

由前述的解說,1921年胡適寫這首小詩的時候,似乎只是一時興起,將當時的感受以詩的形式表達出來,然而為什麼會取名《希望》,則是眾說紛紜,莫衷一是。一說是1919年2月,胡適曾翻譯過另外一首《希望》小詩。而且,妻子江冬秀懷孕在身,兩個月後就要臨產,“希望”預示著新生命的前程。有人認為詩中的“蘭花草”其實是隱喻“德先生與賽先生”,胡適於1917年回北京大學任教時將民主和科學引進中國,然而到了1921年,民主和科學並沒有如他所預期的在中國落地生根,甚至“苞也無一個”。也有人認為“蘭花草”其實是隱喻白話詩,胡適的文學革命是主張以白話取代文言寫詩,它早在1916年開始就不斷實驗以白話寫詩,可惜贊成他的主張的人似…